Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 12 из 19

 

 

Качественная теория гибридных систем

Начиная с 1997 года в лаборатории и на кафедре теоретической кибернетики проводятся интенсивные исследования, посвященные разработке качественной теории гибридных динамических систем (ГДС). Так называют системы, сочетающие взаимодействующие непрерывную и дискретную динамики. Обычно состояние таких систем описывается переменными, принимающими значения из континуального множества (как правило, это вещественная ось), а также переменными, принимающими значения из дискретного (как правило, конечного) множества. С инженерной точки зрения, гибридная система это сеть, составленная из взаимодействующих цифровых и аналоговых устройств, или цифровое устройство, взаимодействующее с непрерывным процессом. Теория гибридных динамических систем рождается в союзе теории управления и компьютерных наук (computer sciences): теория управления применяется для изучения аналоговых аспектов гибридной системы, в то время как методы компьютерных наук естественны для изучения ее дискретных компонент. Мотивированная и стимулируемая стремительным развитием современных технологий, связанных с применением цифровых устройств в системах управления и обработки информации, теория ГДС является областью, актуальность и важность которой постоянно возрастает.

Наиболее важные примеры ГДС возникают там, где дискретное логическое устройство взаимодействует с непрерывным процессом. Такая ситуация характерна для широкого класса инженерных систем и производственных процессов, рассматриваемых в связи с ассоциированными системами управления и обработки информации. ГДС также возникают в приложениях, где взаимодействие нескольких относительно независимых объектов регулируется по принципу обратной связи в соответствии с определенными протоколами (правилами). Для таких приложений в настоящее время наибольший интерес вызывает задача предотвращения конфликтов между объектами, использующими один и тот же ресурс. Некоторые примеры подобного рода связаны с управлением движением воздушного (водного) транспорта в районе аэропорта (порта), применением автономных транспортных роботов на производстве, предотвращением столкновений подводных аппаратов с другими подводными объектами, разработкой "интеллектуальных" шоссе (автомобиль без водителя). Важный пример ГДС связан с применением управляющих систем, осуществляющих переключение между набором базовых регуляторов по определенному алгоритму. В некоторых случаях подобное переключение позволяет существенно улучшить качество управления по сравнению с любым отдельным используемым регулятором. В других случаях доступен лишь ограниченный набор типовых регуляторов (часто это следствие стандартизации) и задача состоит в том, чтобы использовать этот набор наилучшим образом. Примером подобной ситуации может служить задача оптимального переключения коробки передач или задача оптимального переключения между режимами охлаждения и нагрева в системе регулирования температуры помещения.

В качестве одной из центральных задач, связанных с гибридными системами, отчетливо обозначилась проблема верификации (в частности компьютерной): как выяснить, обладает или нет заданная система определенным свойством. При этом значительная доля интереса фокусируется на динамических свойствах: наличие или отсутствие хаотической динамики, существование периодических траекторий, устойчивость и т.п. Этот интерес неизбежен и естественен. Вместе с тем он подогрет примерами, демонстрирующими, что даже простейшие гибридные системы могут обладать очень сложным динамическим поведением. Сфокусированная указанным образом, обсуждаемая проблема родственна традиционной тематике качественной теории динамических систем.

В лаборатории теоретической кибернетики (в сотрудничестве с Университетом Западной Австралии) был получен целый ряд результатов, заложивших основы качественной теории для достаточно общего класса ГДС. Эти результаты представлены в докладах на международных научных конференциях и опубликованы в ведущих международных журналах [88-103], а также издательством Birkhauser в виде монографии [104] – по-видимому, первой в мире по обсуждаемой тематике.

Был изучен общий класс гибридных динамических систем переключательного типа, то есть систем, для которых "непрерывные" переменные состояния не претерпевают скачков. Получены (необходимые и достаточные) условия сильной детерминированности системы, а также инвариантности заданной области. Выделены (с помощью соответствующего критерия) системы, для которых динамика дискретной части становится периодической начиная с некоторого момента времени. Найдены условия, гарантирующие, что заданная инвариантная область содержит периодическую траекторию, а также получена оценка снизу числа таких траекторий. Вскрыта неожиданная на первый взгляд связь между свойствами детерминизма системы и инвариантности дискретной динамики: для систем рассматриваемого класса детерминизм исключает влияние непрерывного состояния на порядок смены дискретных состояний, допуская влияние лишь на соответствующие моменты времени. В результате метод анализа гибридных динамических систем, основанный на идее алгебраической редукции дискретной части системы к конечному автомату, впервые обоснован для общего класса ГДС.

Выделены ГДС с простой периодической динамикой. Другими словами, установлены условия, гарантирующие, что с одной стороны, динамика дискретной части периодична и с другой стороны, существует конечный (или счетный) набор лежащих в рассматриваемой инвариантной области предельных циклов таких, что любая траектория, лежащая в этой области, либо сама периодична начиная с некоторого момента времени, либо стремится к одному из этих циклов при t→∞.На первый взгляд более естественным было бы считать, что этот набор помимо периодических может содержать и стационарные траектории. Однако для исследуемого класса систем такие траектории отсутствуют. Обсуждаемые условия установлены для двумерных гибридных систем (в этом случае получены необходимые и достаточные условия), а также для систем произвольного порядка с кусочно постоянными производными. Для систем второго типа разработан метод определения числа предельных циклов, а также области притяжения каждого из них. Дееспособность разработанной общей теории продемонстрирована исследованием целого ряда представляющих самостоятельный интерес моделей информационных, компьютерных и т.п. сетей, гибких производственных систем, биотехнологических и др. процессов.